化序列v_e()和g_e(t,),来考虑对应的光滑反射型朗之万方程。
这种情况下,可以通过曾经传统的经典理论来保证该光滑问题解(x_t"g,l_t"e)的存在唯一性。下一步就是苏志坚的创新点了,对于逼近解x t"g没有使用标准的lyapunov函数。而是直接引用了乔源论文里的引理,构建了一个经过共振调制的能量函数。这里的形式化定义直接引用了乔源论文中的对最优收敛速率的变分刻画。
到了这一步苏志坚又巧妙地通过反证法,先是假设方程存在两个不同的解,那么在该框架下两个解的路径差会被噪声和反射边界同步。
然后再通过一个关键的微分不等式最终迫使其耦合距离随着时间的推移无限趋近于零。从而推出了其路径在分布意义下的唯一性。
因为证明过程直接引用了乔源之前提出的理论,所以也让乔源理解的很快。
从逻辑上说肯定是没问题的。而且他的论文既然已经发表,还被微软这样的大型科技公司注意到,说明还是被广泛认可的。
所以乔源开始仔细研究苏志坚的证明过程。
毕竟虽然用到了他的方法,但本身这个证明方法也是开创性的。
他的定理被变形了很多次。做了很多的拆分跟重组。
只有保证正确,才能为整个大框架确定普适性。
就这样乔源仔细地看了两个小时,又自顾自地重新推导了一遍,才擡头看向自家导师。
“怎么样?有没有找到什么问题?”苏志坚立刻开口问道。
乔源摇了摇头,又点了点头,说道:“大方向上我感觉问题不大,不过有些细节我觉得别扭。但需要时间推导。”
“哦?哪里有问题?”
苏志坚立刻站了起来,走到乔源身边。
乔源看了眼时间,又看了眼迫切的导师,还是决定先跟导师讨论一番。
“那我先说最让我感觉有问题的地方。您看啊,这个关键不等式………
也就是你证明d(t)指数衰减的关键,在于共振参数入(e)必须大于一个正常数。
但我觉得这个下界其实是依赖于您构造的逼近序列vs()的集中度。”
说着,乔源也站了起来,拿起粉笔开始在黑板上重新推导。
“简单来说,这个证明要完全成立其实需要一个隐藏的条件。就是非光滑边界不能太过尖锐。比如